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拿破仑三角形是什么

编辑:天下发布时间:2022-02-04 01:23:06

拿破仑定理则是法国著名的军事家拿破仑·波拿巴已知最早提出的一个几何定理:“以任意三角形的三条边为边,向外构造三个等边三角形,则这三个等边三角形的外接圆中心恰为另一个等边三角形的顶点。”该等边三角形称为拿破仑三角形。如果向内(原三角形不需为等边三角形)作三角形,结论同样成立。

验证推导

在△ABC的各边上向外各作等边△ABF,等边△ACD,等边△BCE。

如何证明:这3个等边三角形的外接圆共点?

思路1:利用四点共圆来证明三圆共点。这是证明拿破仑定理的基础。

证明:设等边△ABF的外接圆和等边△ACD的外接圆相交于O;连AO、CO、BO。

∴∠AFB=∠ADC=60°;

∵A、F、B、O四点共圆;A、D、C、O四点共圆;

∴∠AOB=∠AOC=120°;

∴∠BOC=120°;

∵△BCE是等边三角形

∴∠BEC=60°;

∴B、E、C、O四点共圆

∴这3个等边三角形的外接圆共点。

结论:因为周角等于360°,所以,∠AOB=∠AOC=120°时,∠BOC就等于120°;用四点共圆的性质定理和判定定理来证明三圆共点的问题。

以任意三角形的三边为边向外作等边三角形,则这三个等边三角形的中心的连线是一个等边三角形。

求证:上面3个等边三角形的中心M、N、P的连线构成一个等边三角形?

证明一

思路1:利用已有的三个圆和三个四点共圆来证明。

证明:设等边△ABD的外接圆⊙N,等边△ACF的外接圆⊙M,等边△BCE的外接圆⊙P

相交于O;连AO、CO、BO。

∵A、D、B、O四点共圆;

A、F、C、O四点共圆

B、E、C、O四点共圆

∠AFC=∠ADB=∠BEC=60°;

∴∠AOB=∠AOC=∠BOC=120°;

∵NP、MP、MN是连心线;

BO、CO、AO是公共弦;

∴BO⊥NP于X;

CO⊥MP于Y;

AO⊥NM于Z。

∴X、P、Y、O四点共圆;

Y、M、Z、O四点共圆;

Z、N、X、O四点共圆;

∴∠N=∠M=∠P=60°;

即△MNP是等边三角形。

证明二

思路2:证明原三角形重心至外围三个等边三角形几何中心距离相等。

图中绿色辅助线利用中线特性求其长度,绿色角度值亦可用余弦定理求出,结合垂角,进一步利用余弦定理求出两几何中心距离,同理可证原重心与另外两个等边三角形的几何中心距离。

费马点也是证明拿破仑定理的好方法。

上图即是用费马点的性质来推导拿破仑定理的证明方法。

证明三

思路3:用相似证明三边相等

证明:如图,分别以△ABC的边BC、AC、AB为等边三角形边长,向△ABC外作等边三角形(△BCC'、△ACA'、△ABB'),设这三个三角形的中心分别为D,E,F,

则:∠FAB=∠FBA=∠DBC=∠DCB=∠EAC=∠ECA=30°

以点A为圆心,以AF长为半径作弧;以点E为圆心,以DC长为半径作弧。设两弧在多边形AFBDCE内交于点G。则AG=AF,GE=DC。

连接GF、GA、GE,DE、DF、EF。

∵△ABF、△BCD、△ACE都是底角为30°的等腰三角形(即∠FAB=∠FBA=∠DBC=∠DCB=∠EAC=∠ECA=30°)

∴△ABF∽△BCD∽△ACE,

∴AF/AB=AE/AC=DC/BC

又∵AG=AF,GE=DC

∴AG/AB=AE/AC=GE/BC

∴△AGE∽△ABC

∴∠GAE=∠BAC

∴∠FAG=∠EAF-∠GAE=∠EAF-∠BAC=∠FAB+∠EAC=60°

又∵AG=AF

∴△AGF为等边三角形

∴AG=AF,∠AGF=60°∵△AGE∽△ABC

∴∠AGE=∠ABC

又∵∠FBD=∠ABC+∠FBA+∠DBC=∠ABC+60°

∠FGE=∠AGE+∠AGF=∠AGE+60°

∴∠FBD=∠FGE

∵在△FBD和△FGE中,

FB=FG,∠FBD=∠FGE,BD=GE

∴△FBD≌△FGE(SAS)

∴FD=FE

同理,FD=DE

∵FD=DE=FE

∴△DEF为等边三角形

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